Sportolónak készült, de egy sérülés miatt tervei füstbe mentek. Ekkor kezdett el komolyabban zenélni. A budapesti József Attila Gimnáziumban társaival alapított együttesben a felállást sorshúzással döntötték el, így lett Kóbor a gitáros, a dobok mögé pedig Laux József ült. A hangszer csak öt évig lógott nyakában, ezután végleg az éneklés mellett kötött ki. 

Építészmérnöki diplomát szerzett a Budapesti Műszaki Egyetemen, miközben egyre jobban elmerült a zenében. A műegyetemisták zenekara 1962. szeptember 23-án lépett fel először Omega néven egy kollégiumban, 1967-ig angolszász dalokat adtak elő. A billentyűs Presser Gábor belépésével kezdődött a saját dalok korszaka, mivel Presser invenciózus zeneszerzőnek bizonyult, dalaik szövegét pedig Adamis Anna írta. Egy év múlva már a második legnépszerűbb rockzenekar voltak az Illés mögött, a többi pedig már történelem…

Kóbor János az Omega mind a 17 albumának elkészítésében részt vett (a legutolsó 2020-ban jelent meg Testamentum címmel). Az éneklés mellett zenei rendezőként, kiadóvezetőként is dolgozott, számos lemez készítésében vett részt producerként, hangmérnökként. Első közreműködése más produkcióban a német Scorpions zenekar budapesti és kassai koncertje volt 2009-ben, ezzel Klaus Meine és Rudolf Schenker 1994-es vendégszereplését viszonozta. 2014-ben koncertet adhatott a rendszerváltás 25. évfordulójának tiszteletére a budapesti Hősök terén, ahol fellépett a Scorpions is, így Kóbor együtt énekelhette a Wind of Change-et Klaus Meinével.

Pályája során megkapott szinte minden fontosabb állami kitüntetést: 1987-ben a Liszt Ferenc-díjat, majd 2013-ban a Kossuth-díjat is. 1995-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend kiskeresztjét vehette át, 2013-ban pedig Budapest díszpolgárává avatták. Kétszer házasodott, az első házasságából egy fia született, a másodikból pedig egy lánya. 

A legendás énekes 2021 december 6-án, 78 évesen hunyt el koronavírus-fertőzés miatt.